Хотела взять отпуск на сдачу экзаменов в институте, но директор отказала в отпуске.

Право-то вы имеете. согласно ст. 173 тк рф,
работодатель обязан предоставить отпуск без сохранения заработной платы:
работникам, обучающимся по имеющим государственную аккредитацию программам бакалавриата, программам специалитета или программам магистратуры по очной форме обучения, совмещающим получение образования с работой, для прохождения промежуточной аттестации - 15 календарных дней в учебном году, для подготовки и защиты выпускной квалификационной работы и сдачи итоговых государственных экзаменов - четыре месяца, для сдачи итоговых государственных экзаменов - один месяц.
но производственные интересы организации тоже понятны.
предъявите работодателю справку-вызов, напишите соответствующее заявление.
а сами постарайтесь сдать экзамены побыстрее.